TAOCP 1.3.3 Exercise 5
Kí hiệu phép hoán vị đã cho là $(acf)(bd)$, trong đó $e$ là điểm bất động và bị lược bỏ trong ký hiệu chu trình.
Section 1.3.3: Applications to Permutations
Exercise 5. [M10] Equation (3) shows several equivalent ways to express the same permutation in cycle form. How many different ways of writing that permutation are possible, if all singleton cycles are suppressed?
Verified: yes
Solve time: 1m14s
Kí hiệu phép hoán vị đã cho là $(acf)(bd)$, trong đó $e$ là điểm bất động và bị lược bỏ trong ký hiệu chu trình.
Chu trình $3$ phần tử $(acf)$ có thể được viết lại bằng mọi phép quay vòng của dãy, tức $(acf)$, $(cfa)$, $(fac)$, tương ứng $3$ cách viết khác nhau. Chu trình $2$ phần tử $(bd)$ có thể viết thành $(bd)$ hoặc $(db)$, tương ứng $2$ cách viết khác nhau. Hai chu trình rời nhau có thể hoán đổi vị trí trong tích, tạo thêm $2!$ cách sắp thứ tự.
Mỗi cách chọn biểu diễn cho chu trình $3$ phần tử, chu trình $2$ phần tử, và thứ tự hai chu trình xác định duy nhất một cách viết toàn bộ phép hoán vị khi bỏ qua chu trình đơn vị. Do đó tổng số cách là $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$.
$\boxed{12}$