IMO 1971 SL 17

Prove the inequality

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IMO 1971 SL 17

Origin: YUG

Problem

Prove the inequality a1 + a3 a1 + a2

  • a2 + a4 a2 + a3
  • a3 + a1 a3 + a4
  • a4 + a2 a4 + a1 \geq4, where ai > 0, i = 1, 2, 3, 4.

Solution

We use the following obvious consequences of (a + b)2 \geq4ab: (a1 + a2)(a3 + a4) \geq (a1 + a2 + a3 + a4)2 , (a1 + a4)(a2 + a3) \geq (a1 + a2 + a3 + a4)2 . Now we have a1 + a3 a1 + a2

  • a2 + a4 a2 + a3
  • a3 + a1 a3 + a4
  • a4 + a2 a4 + a1 = (a1 + a3)(a1 + a2 + a3 + a4) (a1 + a2)(a3 + a4)
  • (a2 + a4)(a1 + a2 + a3 + a4) (a1 + a4)(a2 + a3) \geq 4(a1 + a3) a1 + a2 + a3 + a4

4(a2 + a4) a1 + a2 + a3 + a4 = 4.